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Función de partición

El concepto de función de partición es central en el campo de la mecánica estadística, que a su vez es una parte esencial de la termodinámica en física. Este concepto nos ayuda a conectar el mundo microscópico de átomos y moléculas con el mundo macroscópico de los fenómenos físicos, como la presión, la temperatura y el volumen. Al comprender la función de partición, podemos entender varias propiedades de sistemas compuestos por un gran número de partículas, como gases, sólidos y líquidos.

¿Qué es la función de partición?

En mecánica estadística, la función de partición es una forma de relacionar todos los estados posibles de un sistema de manera que incorpore sus energías y la temperatura del sistema. Usualmente se denota con el símbolo Z y se define para un sistema en equilibrio térmico a una temperatura T. La función de partición proporciona un enlace esencial entre los estados microscópicos de un sistema y sus propiedades termodinámicas macroscópicas.

Definición matemática

Para un sistema con niveles de energía discretos, la función de partición canónica se define como:

Z = Σ e ^{-E _i /kT}

Aquí:

E _i es la energía del estado i-ésimo.
k es la constante de Boltzmann.
T es la temperatura absoluta.
La suma es sobre todos los estados i.

Para sistemas con niveles de energía continuos, la función de partición se escribe como una integral:

Z = ∫ e ^-E/kT g(E) dE

Aquí g(E) es la densidad de estados, que nos indica cuántos estados tienen una energía particular.

¿Por qué es importante la función de partición?

La función de partición es una herramienta poderosa porque, una vez que la conocemos, podemos calcular muchas propiedades macroscópicas del sistema. Estas incluyen energía interna, energía libre, entropía y otras cantidades termodinámicas.

Relación con las propiedades termodinámicas

Veamos cómo la función de partición nos ayuda a obtener varias cantidades termodinámicas:

Energía Interna (U): La energía promedio del sistema se puede encontrar de la siguiente manera:
```
U = -∂(ln(Z))/∂β
```
donde β = 1/kT.
Energía Libre (F): La energía libre de Helmholtz es:
```
F = -kT ln(Z)
```
Entropía (S): La entropía se puede obtener de:
```
S = k (ln(Z) + βU)
```
Presión (P): La presión se obtiene como la derivada de la energía libre con respecto al volumen:
```
P = -∂F/∂V
```

Ejemplo visual: un sistema de dos niveles

Para entender la función de partición, consideremos un ejemplo simple: un sistema con solo dos niveles de energía. Supongamos que las energías de los dos niveles son E ₀ = 0 y E ₁ = ε.

La función de partición Z para este sistema es:

Z = e ^-0/kT + e ^-ε/kT = 1 + e ^-ε/kT

La representación SVG de este sistema se vería así:

₀ = 0 e ₁ = ε

Este ejemplo muestra la suma de los términos exponenciales correspondientes a cada nivel de energía, ponderados por el factor de Boltzmann, que determina la probabilidad de que el sistema esté en un estado particular.

Ejemplo de aplicación: un gas ideal

Consideremos un gas ideal, que es un grupo de partículas no interaccionantes encerradas en un contenedor. Para un gas ideal, cada partícula puede estar en diferentes estados con diferentes niveles de energía.

La función de partición para una sola partícula de gas ideal en tres dimensiones se da por:

Z = V/h ³ ∫∫∫ e ^{-(p ² /2m)/kT} d ³ p

Donde V es el volumen del contenedor, h es la constante de Planck, p es el momento de la partícula y m es la masa de la partícula.

Al resolver esta integral, obtenemos:

Z = (VkT/2πħ)

Esta expresión resalta cómo la función de partición aumenta con el volumen del contenedor y la temperatura.

Combinación de múltiples partículas

Para una colección de N partículas diferenciadas, la función de partición total es simplemente un producto de las funciones de partición de una sola partícula:

Z _total = Z ^N

Si las partículas son indistinguibles, debemos dividir por N!

Z _total = Z ^N /N!

Esta distinción es importante para describir con precisión los sistemas del mundo real, especialmente los gases de alta densidad.

Conclusión

La función de partición es un concepto central en la mecánica estadística que proporciona un poderoso vínculo entre los estados microscópicos de un sistema termodinámico y sus propiedades macroscópicas. Al comprender la función de partición, los físicos pueden derivar propiedades importantes como la energía, la entropía y la presión, que ofrecen información sobre el comportamiento de varios sistemas físicos.

Con ejemplos que van desde sistemas simples con dos niveles de energía hasta sistemas más complejos como los gases ideales, la función de partición ofrece un marco comprensivo que es esencial para el estudio de la mecánica estadística y la termodinámica.

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