分配関数

分配関数の概念は統計力学の中心となるものであり、物理学における熱力学の本質的な部分を形成しています。この概念は、原子や分子の微視的な世界を、圧力、温度、体積などの物理現象という巨視的な世界に結びつけるのに役立ちます。分配関数を理解することで、気体、固体、液体など、多数の粒子からなるシステムのさまざまな特性を理解することができます。

分配関数とは何ですか？

統計力学において、分配関数はシステムのすべての可能な状態をそのエネルギーとシステムの温度を組み込んで関連付ける方法です。通常、Zという記号で表され、温度Tで熱平衡にあるシステムのために定義されます。分配関数は、システムの微視的状態とその巨視的な熱力学的特性の間の重要な結びつきを提供します。

数学的定義

離散的なエネルギーレベルを持つシステムの場合、正準分配関数は次のように定義されます：

Z = Σ e -E i /kT

ここで：

• E i i はi番目の状態のエネルギーです。
• k はボルツマン定数です。
• T は絶対温度です。
• この合計はすべての状態iに対して行われます。

エネルギーレベルが連続的なシステムの場合、分配関数は積分として表されます：

Z = ∫ e -E/kT g(E) dE

ここでg(E)は状態密度であり、特定のエネルギーを持つ状態の数を示しています。

分配関数はなぜ重要ですか？

分配関数は非常に強力なツールです。分配関数を知っていると、システムの多くの巨視的特性を計算することができます。これには、内部エネルギー、自由エネルギー、エントロピー、およびその他の熱力学的量が含まれます。

熱力学的特性との関係

分配関数がどのようにしていくつかの熱力学的量を得るのを助けるか見てみましょう：

• 内部エネルギー (U): システムの平均エネルギーは次のように求められます：

  U = -∂(ln(Z))/∂β

  ここで β = 1/kT。
• 自由エネルギー (F): ヘルムホルツの自由エネルギーは次のようになります：

  F = -kT ln(Z)

• エントロピー (S): エントロピーは次のように得られます：

  S = k (ln(Z) + βU)

• 圧力 (P): 圧力は自由エネルギーを体積で微分したものとして得られます：

  P = -∂F/∂V

視覚的な例：2レベルシステム

分配関数を理解するために、簡単な例を考えてみましょう：2つのエネルギーレベルしか持たないシステムです。この2つのレベルのエネルギーを E 0 = 0 および E 1 = ε としましょう。

このシステムの分配関数Zは：

Z = e -0/kT + e -ε/kT = 1 + e -ε/kT

このシステムのSVG表現は以下のようになります：

Z = V/h 3 ∫∫∫ e -(p 2 /2m)/kT d 3 p

Z = (VkT/2πħ)

Z total = Z N

Z total = Z N /N!

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