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Função de partição

O conceito de função de partição é central no campo da mecânica estatística, que por sua vez é uma parte essencial da termodinâmica na física. Este conceito nos ajuda a conectar o mundo microscópico de átomos e moléculas ao mundo macroscópico de fenômenos físicos como pressão, temperatura e volume. Ao entender a função de partição, podemos entender várias propriedades de sistemas compostos por um grande número de partículas, como gases, sólidos e líquidos.

O que é a função de partição?

Na mecânica estatística, a função de partição é uma forma de relacionar todos os possíveis estados de um sistema de forma a incorporar suas energias e a temperatura do sistema. É geralmente denotada pelo símbolo Z e é definida para um sistema em equilíbrio térmico a uma temperatura T. A função de partição fornece uma conexão essencial entre os estados microscópicos de um sistema e suas propriedades termodinâmicas macroscópicas.

Definição matemática

Para um sistema com níveis de energia discretos, a função de partição canônica é definida como:

Z = Σ e ^{-E _i /kT}

Aqui:

E _i é a energia do i-ésimo estado.
k é a constante de Boltzmann.
T é a temperatura absoluta.
Esta soma é sobre todos os estados i

Para sistemas com um nível de energia contínuo, a função de partição é escrita como uma integral:

Z = ∫ e ^-E/kT g(E) dE

Aqui g(E) é a densidade de estados, que nos diz quantos estados têm uma energia particular.

Por que a função de partição é importante?

A função de partição é uma ferramenta poderosa porque, uma vez que a conhecemos, podemos calcular muitas propriedades macroscópicas do sistema. Isso inclui energia interna, energia livre, entropia e outras quantidades termodinâmicas.

Relação com as propriedades termodinâmicas

Vejamos como a função de partição nos ajuda a obter várias quantidades termodinâmicas:

Energia Interna (U): A energia média do sistema pode ser encontrada da seguinte forma:
```
U = -∂(ln(Z))/∂β
```
onde β = 1/kT.
Energia Livre (F): A energia livre de Helmholtz é:
```
F = -kT ln(Z)
```
Entropia (S): A entropia pode ser obtida a partir de:
```
S = k (ln(Z) + βU)
```
Pressão (P): A pressão é obtida como a derivada da energia livre em relação ao volume:
```
P = -∂F/∂V
```

Exemplo visual: um sistema de dois níveis

Para entender a função de partição, vamos considerar um exemplo simples: um sistema com apenas dois níveis de energia. Deixe as energias dos dois níveis serem E ₀ = 0 e E ₁ = ε.

A função de partição Z para este sistema é:

Z = e ^-0/kT + e ^-ε/kT = 1 + e ^-ε/kT

A representação em SVG deste sistema seria assim:

₀ = 0 e ₁ = ε

Este exemplo mostra a soma dos termos exponenciais correspondentes a cada nível de energia, ponderados pelo fator de Boltzmann, que determina a probabilidade do sistema estar em um estado particular.

Exemplo de aula: um gás ideal

Considere um gás ideal, que é um grupo de partículas não interagentes contidas em um recipiente. Para um gás ideal, cada partícula pode estar em diferentes estados com diferentes níveis de energia.

A função de partição para uma única partícula de gás ideal em três dimensões é dada por:

Z = V/h ³ ∫∫∫ e ^{-(p ² /2m)/kT} d ³ p

Onde V é o volume do recipiente, h é a constante de Planck, p é o momento da partícula, e m é a massa da partícula.

Resolvendo esta integral, obtemos:

Z = (VkT/2πħ)

Esta expressão destaca como a função de partição aumenta com o volume do recipiente e a temperatura.

Combinação de múltiplas partículas

Para uma coleção de N partículas diferenciadas, a função de partição total é simplesmente um produto das funções de partição de uma única partícula:

Z _total = Z ^N

Se as partículas são indistinguíveis, devemos dividi-lo por N!

Z _total = Z ^N /N!

Esta distinção é importante para descrever com precisão sistemas do mundo real, especialmente gases de alta densidade.

Conclusão

A função de partição é um conceito central na mecânica estatística que fornece uma ligação poderosa entre os estados microscópicos de um sistema termodinâmico e suas propriedades macroscópicas. Ao entender a função de partição, os físicos podem derivar propriedades importantes como energia, entropia e pressão, que fornecem informações sobre o comportamento de vários sistemas físicos.

Com exemplos que vão de sistemas simples com dois níveis de energia a sistemas mais complexos como gases ideais, a função de partição fornece uma estrutura abrangente que é essencial para o estudo da mecânica estatística e da termodinâmica.

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