Студент бакалавриата → Термодинамика → Статистическая механика ↓

Функция распределения

Понятие функции распределения является центральным в области статистической механики, которая, в свою очередь, является важной частью термодинамики в физике. Это понятие помогает нам связать микроскопический мир атомов и молекул с макроскопическим миром физических явлений, таких как давление, температура и объем. Понимая функцию распределения, мы можем понять различные свойства систем, состоящих из большого числа частиц, таких как газы, твердые тела и жидкости.

Что такое функция распределения?

В статистической механике функция распределения представляет собой способ связать все возможные состояния системы с учетом их энергий и температуры системы. Обычно она обозначается символом Z и определяется для системы в тепловом равновесии при температуре T. Функция распределения обеспечивает важную связь между микроскопическими состояниями системы и ее макроскопическими термодинамическими свойствами.

Математическое определение

Для системы с дискретными уровнями энергии каноническая функция распределения определяется как:

Z = Σ e ^{-E _i /kT}

Здесь:

E _i — энергия i-го состояния.
k — постоянная Больцмана.
T — абсолютная температура.
Суммирование идет по всем состояниям i.

Для систем с постоянным уровнем энергии функция распределения записывается в виде интеграла:

Z = ∫ e ^-E/kT g(E) dE

Здесь g(E) — плотность состояний, которая указывает, сколько состояний имеет определенную энергию.

Почему функция распределения важна?

Функция распределения является мощным инструментом, поскольку, узнав ее, мы можем рассчитать многие макроскопические свойства системы. К ним относятся внутренняя энергия, свободная энергия, энтропия и другие термодинамические величины.

Связь с термодинамическими свойствами

Посмотрим, как функция распределения помогает получить несколько термодинамических величин:

Внутренняя энергия (U): Средняя энергия системы может быть найдена следующим образом:
```
U = -∂(ln(Z))/∂β
```
, где β = 1/kT.
Свободная энергия (F): Свободная энергия Гельмгольца равна:
```
F = -kT ln(Z)
```
Энтропия (S): Энтропия может быть получена из:
```
S = k (ln(Z) + βU)
```
Давление (P): Давление находится как производная свободной энергии по объему:
```
P = -∂F/∂V
```

Наглядный пример: двухуровневая система

Чтобы понять функцию распределения, рассмотрим простой пример: система с двумя уровнями энергии. Пусть энергии этих уровней равны E ₀ = 0 и E ₁ = ε.

Функция распределения Z для этой системы:

Z = e ^-0/kT + e ^-ε/kT = 1 + e ^-ε/kT

SVG представление этой системы будет выглядеть так:

₀ = 0 e ₁ = ε

Этот пример демонстрирует сумму экспоненциальных членов, соответствующих каждому уровню энергии, взвешенных по фактору Больцмана, который определяет вероятность нахождения системы в определенном состоянии.

Пример урока: идеальный газ

Рассмотрим идеальный газ, который представляет собой группу невзаимодействующих частиц, заключенных в контейнере. Для идеального газа каждая частица может находиться в разных состояниях с разными уровнями энергии.

Функция распределения для одной частицы идеального газа в трех измерениях выражается как:

Z = V/h ³ ∫∫∫ e ^{-(p ² /2m)/kT} d ³ p

Где V — объем контейнера, h — постоянная Планка, p — импульс частицы, а m — масса частицы.

Решая этот интеграл, мы получаем:

Z = (VkT/2πħ)

Это выражение подчеркивает, как функция распределения увеличивается с ростом объема контейнера и температуры.

Комбинация нескольких частиц

Для совокупности N различных частиц общая функция распределения является просто произведением функций распределения одной частицы:

Z _total = Z ^N

Если частицы неразличимы, мы должны умножить на N!

Z _total = Z ^N /N!

Это различие важно для точного описания реальных систем, особенно газов с высокой плотностью.

Заключение

Функция распределения является центральным понятием в статистической механике, которое обеспечивает мощную связь между микроскопическими состояниями термодинамической системы и ее макроскопическими свойствами. Понимая функцию распределения, физики могут вывести важные свойства, такие как энергия, энтропия и давление, которые дают представление о поведении различных физических систем.

С примерами, начиная от простых систем с двумя уровнями энергии и заканчивая более сложными системами, такими как идеальные газы, функция распределения предоставляет комплексную основу, необходимую для изучения статистической механики и термодинамики.

Отметить как прочитано

Студент бакалавриата → 3.3.3

username

завершено в Студент бакалавриата

← Предыдущий (3.3.2)

Энтропия и Вероятность

Следующий (3.3.4) →

Статистика Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна