Pozos de potencial y obstáculos

En la mecánica cuántica, es fundamental entender cómo se comportan las partículas bajo diferentes energías potenciales. La herramienta central en tal análisis es la ecuación de Schrödinger, que proporciona una manera de describir cómo cambia el estado cuántico de un sistema físico con el tiempo. Dos conceptos altamente influyentes que surgen de ese análisis son los pozos de potencial y las barreras de potencial. Estos conceptos nos ayudan a entender fenómenos como el túnel cuántico y los estados ligados.

Ecuación de Schrödinger

Antes de profundizar en los pozos de potencial y las barreras, es necesario entender la ecuación de Schrödinger, que se da como:

iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ

Aquí, ψ es la función de onda, que contiene toda la información sobre la partícula; ħ es la constante reducida de Planck; ∂ψ/∂t representa la derivada parcial de la función de onda con respecto al tiempo, y Ĥ es el operador hamiltoniano que representa la energía total del sistema.

Pozos de potencial

Un pozo de potencial es una región donde la energía potencial V(x) es menor que la región circundante. Imagina un valle en forma de cuenco al que una partícula puede entrar pero salir solo si gana suficiente energía.

Pozo de potencial finito

Considera un pozo unidimensional finito, donde el potencial V(x) se da por:

V(x) = { 0, si |x| < a V₀, si |x| ≥ a }

El pozo de potencial tiene regiones de diferente energía potencial: cero dentro del pozo y V₀ afuera.

Dentro del pozo, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

-ħ²/2m ∂²ψ/∂x² = Eψ

Resolver esto produce una solución sinusoidal dentro del pozo:

ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)

Donde k = √(2mE)/ħ.

Fuera del pozo, donde la energía potencial es V₀, la solución toma la forma de un decaimiento o crecimiento exponencial porque la energía dentro del pozo es generalmente menor que la energía potencial fuera. Así:

ψ(x) = F e^(αx) + G e^(-αx)

Donde α = √(2m(V₀ - E))/ħ.

Representación gráfica de un pozo de potencial finito

Túnel cuántico y barreras

El túnel cuántico es un fenómeno en el que las partículas pueden atravesar barreras de potencial incluso si su energía es menor que la altura de la barrera. Esto contrasta con la física clásica, donde es imposible hacerlo.

Barrera de potencial

Considera la siguiente restricción:

V(x) = { 0, si x < 0 o x > L V₀, si 0 ≤ x ≤ L }

Dentro de la barrera, la función de onda se puede escribir usando la igualdad de pozos de potencial:

ψ(x) = C e^(κx) + D e^(-κx)

Donde κ = √(2m(V₀ - E))/ħ. Esto representa el decaimiento exponencial dentro de la barrera.

Representación gráfica de la barrera de potencial

Ejemplos de solución

Tomemos el ejemplo de una partícula que se aproxima a una barrera. Considera una partícula cuya energía es menor que E V₀. La probabilidad de que la partícula esté al otro lado de la barrera es diferente de cero, definida como la probabilidad de túnel.

Para una barrera de potencial de altura V₀ y ancho L, la probabilidad de túnel T es aproximadamente:

T ≈ exp(-2κL)

Esta fórmula muestra que el túnel depende fuertemente de la diferencia entre el ancho de la barrera y la altura de la barrera y la energía de la partícula.

Aplicación

Los pozos de potencial y las barreras no son solo constructos teóricos; tienen aplicaciones en el mundo real. El túnel cuántico es importante en la física nuclear, por ejemplo, en el proceso de fusión nuclear en las estrellas. Los dispositivos semiconductores como los diodos túnel dependen del túnel cuántico para operar. Los fenómenos descubiertos en los pozos de potencial también son importantes en los puntos cuánticos, dispositivos a nanoescala que confinan electrones en un pozo de potencial, afectando sus propiedades cuánticas.

Reflexiones finales

El estudio de los pozos de potencial y las barreras en mecánica cuántica proporciona información sobre el comportamiento de las partículas a escala cuántica, que es muy diferente de las predicciones clásicas. A través de la ecuación de Schrödinger, aprendemos que los niveles de energía están cuantizados y que fenómenos como el túnel se vuelven posibles, lo que lleva a avances tecnológicos en varios campos.

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