संभावना कुएँ और बाधाएँ

क्वांटम यांत्रिकी में, यह समझना आवश्यक है कि विभिन्न संभावना ऊर्जाओं के अधीन कैसे कण व्यवहार करते हैं। ऐसी विश्लेषण में मुख्य उपकरण श्रोडिंगर समीकरण है, जो उस तरीके का वर्णन करता है कि एक भौतिक प्रणाली की क्वांटम अवस्था समय के साथ कैसे परिवर्तित होती है। इस प्रकार की विश्लेषण से उत्पन्न दो प्रमुख सिद्धांत संभावना कुएँ और संभावना बाधाएँ हैं। ये सिद्धांत हमें क्वांटम सुरंगकरण और बंधित अवस्थाओं जैसे घटनाओं को समझने में मदद करते हैं।

श्रोडिंगर समीकरण

संभावना कुएँ और बाधाओं को गहराई से समझने से पहले, श्रोडिंगर समीकरण को समझना आवश्यक है, जो इस प्रकार है:

iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ

यहाँ, ψ तरंग फलन है, जो कण की सारी जानकारी रखता है; ħ घटित प्लैंक स्थिरांक है; ∂ψ/∂t तरंग फलन का समय के साथ आंशिक अवकलन को दर्शाता है, और Ĥ हैमिल्टनियन ऑपरेटर है जो प्रणाली की कुल ऊर्जा को दर्शाता है।

संभावना कुएँ

संभावना कुआँ वह क्षेत्र है जहाँ संभावना ऊर्जा V(x) आस-पास के क्षेत्र की तुलना में कम होती है। कल्पना करें कि एक कटोरा आकार की घाटी है जिसमें एक कण प्रवेश कर सकता है लेकिन बाहर नहीं निकल सकता जब तक कि वह पर्याप्त ऊर्जा न प्राप्त कर ले।

सीमित संभावना कुआँ

एक एक-आयामी सीमित कुआँ विचार करें, जहाँ संभावना V(x) इस प्रकार दी जाती है:

V(x) = { 0, यदि |x| < a V₀, यदि |x| ≥ a }

संभावना कुएँ में विभिन्न संभावनाओं की ऊर्जा के क्षेत्र होते हैं: कुएँ के अंदर शून्य और बाहर V₀।

कुएँ के भीतर, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण है:

-ħ²/2m ∂²ψ/∂x² = Eψ

इसको हल करने पर कुएँ के अंदर सिरिल तात्विक हल प्राप्त होता है:

ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)

जहाँ k = √(2mE)/ħ।

कुएँ के बाहर, जहाँ संभावना ऊर्जा V₀ है, हल रूप में पार्वती या वृद्धि जैसी होती है क्योंकि कुएँ के अंदर की ऊर्जा सामान्यतः बाहर की संभावना ऊर्जा से कम होती है। इस प्रकार:

ψ(x) = F e^(αx) + G e^(-αx)

जहाँ α = √(2m(V₀ - E))/ħ।

सीमित संभावना कुएँ का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

क्वांटम सुरंगकरण और बाधाएँ

क्वांटम सुरंगकरण एक ऐसा घटना है जिसमें कण अवरोधों के पार जा सकते हैं, भले ही उनकी ऊर्जा अवरोध की ऊंचाई से कम हो। यह शास्त्रीय भौतिकी के विपरीत है जहां इसे करना असंभव है।

संभावना बाधा

निम्नलिखित बाधा को विचार करें:

V(x) = { 0, यदि x < 0 या x > L V₀, यदि 0 ≤ x ≤ L }

बाधा के अंदर, तरंग फलन संभावना कुएँ की समानता का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

ψ(x) = C e^(κx) + D e^(-κx)

जहाँ κ = √(2m(V₀ - E))/ħ। यह बाधा के अंदर एक्सपोनेंशियल क्षय को दर्शाता है।

संभावना बाधा का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

हल के उदाहरण

आइए एक कण के उदाहरण को लें जो एक बाधा के पास आता है। एक कण विचार करें जिसकी ऊर्जा V₀ से कम है E। बाधा के दूसरी तरफ कण के होने की संभावना शून्य नहीं है, जिसे सुरंगकीय संभावना के रूप में परिभाषित किया जाता है।

संभावना बाधा की ऊंचाई V₀ और चौड़ाई L के लिए, सुरंगकीय संभावना T लगभग:

T ≈ exp(-2κL)

यह सूत्र दर्शाता है कि सुरंग बनाने का क्षमता इस पर तीव्रता से निर्भर करता है कि बाधा की चौड़ाई और बाधा की ऊंचाई और कण की ऊर्जा के बीच का अंतर कितना है।

प्रयोग

संभावना कुएँ और बाधाएँ केवल सैद्धांतिक नहीं हैं; उनका वास्तविक दुनिया में प्रयोग है। क्वांटम सुरंगकरण परमाणु भौतिकी में महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, तारों में परमाणु संलयन की प्रक्रिया में। अर्धचालक उपकरण जैसे कि टनल डायोड्स क्वांटम सुरंगकरण पर निर्भर करते हैं। संभावना कुएँ में खोजे गए घटनाएं भी क्वांटम डॉट्स में महत्वपूर्ण हैं, जो इलेक्ट्रॉनों को एक संभावना कुएँ में सीमित करते हैं, उनकी क्वांटम यांत्रिकी गुणों पर असर डालते हैं।

समापन विचार

क्वांटम यांत्रिकी में संभावना कुएँ और बाधाओं का अध्ययन कणों की क्वांटम स्तर पर व्यवहार की जानकारी प्रदान करता है, जो शास्त्रीय भविष्यवाणियों से बहुत अलग है। श्रोडिंगर समीकरण के माध्यम से, हमने सीखा कि ऊर्जा स्तरों की मात्रा निर्धारित होती है, और जैसे सुरंगांकन संभव होते हैं, जो विभिन्न क्षेत्रों में तकनीकी उन्नति की ओर ले जाते हैं।

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