ブラベー格子

固体物理学の研究において、原子レベルでの物質の構造は極めて重要です。結晶において原子がどのように配置されているかを理解するための中心的な概念の一つが、ブラベー格子として知られています。フランスの物理学者オーギュスト・ブラベーにちなんで名付けられ、彼が1850年に初めてそれを特定しました。ブラベー格子は、結晶性固体および格子理論の研究における基礎的な要素です。

では、ブラベー格子とは正確には何でしょうか。基本的なレベルでは、格子は空間における点（またはノード）の配列です。結晶について言えば、この配列は周期的であり、規則的なパターンで繰り返されます。ブラベー格子は、この配列が各点の周囲の環境が同じように配置されている点のグループです。簡単に言うと、これらの点のどの位置に座って外を見ても、周囲の景色は同じに見えるという特性を持っています。この性質により、ブラベー格子は結晶構造を分類するための強力なツールとなっています。

ブラベー格子の概念の理解

ブラベー格子は、構成粒子の対称性と配置に基づいて結晶構造を分類するのに役立ちます。簡単に言えば、これらの格子は、原子、イオン、または分子が固体を形成するためにどのように配置されるかの異なる方法を示しています。三次元空間では、正確に14種類のユニークなブラベー格子があります。

ブラベー格子を理解するためには、まず結晶構造に関する基本的な概念を理解することが必要です。結晶構造は主に2つの要素から成り立っています。格子と基底です。格子は空間における点の幾何学的配置であり、基底は各格子点に関連付けられた原子のセットです。基底が格子に付けられると、その組み合わせが結晶性固体を定義します。

7つの結晶系

すべてのブラベー格子は、7つの結晶系のいずれかに属します。これらの系は、単位セルの軸の長さと角度に基づいて分類されます - それらを結合すると全結晶を形成する格子の最小反復部分。

1. 立方体: すべての辺は等しく、すべての角は90度です。例: NaCl（岩塩）。
2. 四角形: 2つの辺が等しく、3番目は異なります。すべての角は90度です。例: 白色スズ。
3. 斜方: すべての辺が不等ですが、すべての角は90度です。例: オリビン。
4. 六角形: 2つの辺が等しく、3番目が異なる。等しい辺の間の角度は120度で、3番目の辺との間の角度は90度です。例: 鉱物のベリル。
5. 三角形（菱面体）: すべての辺が等しく、角も等しいが90度ではありません。例: 水晶。
6. 単斜: すべての辺が不等で、2つの角は90度ですが、1つはそうではありません。例: 単斜硫黄。
7. 三斜: すべての辺が不等で、すべての角も不等です。例: カヤナイト。

14つのブラベー格子

これらの7つの結晶系では、点は14種類の異なるブラベー格子を形成する特定のパターンに配置できます。それぞれについて詳しく説明します。

1. 立方体

• 単純立方体（SC）: 立方格子の最も単純な形態。点は立方体の各角に位置しています。
• 体心立方体（BCC）: 立方体の角の点に加えて、立方体の中心に追加の点があります。
• 面心立方体（FCC）: 立方体の各角と各面の中心に点があります。

        立方格子の例（単純立方体）: 角の点: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)
    

2. 四角形

• 単純四面体: 単純立方体に似ていますが、1本の軸に沿って延長されています。点は角にあります。
• 体心四面体: 体心立方体の形ですが、四面体の形状を持っています。

        四面体格子の例（体心四面体）: 角の点: (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0), (2, 2, 0), (0, 0, 2), (2, 0, 2), (0, 2, 2), (2, 2, 2) 中心点: (1, 1, 1)
    

3. 直方体

• 単純直方体: 直方体の形をしたセルの角に点があります。
• 底面中心直方体: 各基部の中心に追加の点があります。
• 体心直方体: セルの中心に追加の点があります。
• 面心直方体: 各面の中心および角の点。

        直方格子の例（面心直方体）: 角の点: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0), (1, 2, 0), (0, 0, 3), (1, 0, 3), (0, 2, 3), (1, 2, 3) 面の中心: (0.5, 0, 1.5), (0.5, 2, 1.5), (0, 1, 1.5), (1, 1, 1.5), (0.5, 1, 0), (0.5, 1, 3)
    

4. 六角形

• 単純六角形: 六面体のプリズムで、六角形の角と上下の面に格子点が配置されています。

        六角格子の例（単純六角形）: 角の点: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0.5, √3/2, 0), (0, 0, c), (1, 0, c), (0.5, √3/2, c)
    

5. 三角形（菱面体）

• 単純菱形: 各格子ベクトルが同じ長さで、角も等しいが直角ではない格子。

        菱面体格子の例（単純菱面体）: 角の点: 各辺の長さが'a'の格子 ベクトル間の角度は90度未満
    

6. 単斜

• 単純単斜: セルは不等辺と角を持ちます。1つの角は90度ではなく、他の2つの90度の角の間にあります。
• 底面中心単斜: 角の他に基部の中心に追加の点があります。

        単斜格子の例（底面中心単斜）: 角の点: (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0), (0, 0, c), (a, 0, c), (0, b, c), (a, b, c) 基部中心: (a/2, 0, 0), (a/2, b, 0)
    

7. 三斜

• 単純三斜: 最も一般化された格子形態。辺と角はすべて不等で、必ずしも直角ではありません。

        三斜格子の例（単純三斜）: 対称性の要求はありません。すべての辺と角は無作為 単一粒子の観点から閉じた構造がすべての次元で独自に反復される必要があります
    

数学的表現

ブラベー格子は、格子ベクトルと呼ばれる3つのベクトルを使用して数学的に表現されます。これらのベクトルは以下のように表されます。

        a1, a2, a3 R = n1*a1 + n2*a2 + n3*a3
    

ここで、n1、n2、n3は整数であり、a1、a2、a3は結晶格子の単位セルの形状とサイズを定義します。

これらのベクトルの角度と長さがブラベー格子の特性を定義し、それによってそれらが属する結晶系を決定します。

ブラベー格子の重要性

ブラベー格子は、より複雑な結晶構造を研究および理解するために必要な基本的な枠組みを形成します。ブラベー格子を学ぶことで得られる利点のいくつかを以下に示します。

• 分類: これらの格子を理解することにより、すべての可能な結晶構造を体系的に分類することができます。
• 数学的基盤: ブラベー格子は、固体物理学のさらなる研究に必要な基本的な数学のツールを提供します。
• 対称性の理解: 材料の対称性に関する洞察は、熱、電気、光、機械的特性などの物理的特性を理解する上で重要です。

現実世界での応用

ブラベー格子を理解することで、多くの技術において重要な材料の特性を説明するのに役立ちます。例えば。

• 半導体: 結晶構造を理解することで、電子デバイスの基盤となる効果的な半導体材料を設計することができます。
• 材料科学: 新しい材料、特に合金がどのように振る舞うかを予測するのに役立ちます。
• 医薬品: 結晶構造を理解することで、薬の設計と製造に役立ちます。

結論

ブラベー格子の理解は固体物理学と材料科学において重要です。異なる物質がその原子構造に基づいてどのように振る舞うかを理解する基礎を提供します。ブラベー格子の14の種類は、結晶性固体を分類および分析するための枠組みを提供します。

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