Pregrado
  1. Mecánica clásica  1.1. dinámica  1.1.1. Movimiento en una dimensión  1.1.2. Movimiento en dos dimensiones  1.1.3. projectile motion  1.1.4. Velocidad relativa  1.1.5. Movimiento circular uniforme  1.1.6. Movimiento circular no uniforme  1.1.7. Sistemas de referencia y transformaciones  1.2. Newton's Laws of Motion  1.2.1. Primera ley del movimiento  1.2.2. Segunda ley del movimiento  1.2.3. Tercera Ley del Movimiento  1.2.4. Aplicaciones de las leyes de Newton  1.2.5. Fricción y sus tipos  1.2.6. Diagrama de Cuerpo Libre  1.2.7. Restricciones y pseudo-fuerzas  1.3. Trabajo y energía  1.3.1. Trabajo realizado por la fuerza  1.3.2. Teorema trabajo-energía  1.3.3. Energía cinética  1.3.4. Energía potencial en la mecánica clásica  1.3.5. Fuerzas conservativas y no conservativas  1.3.6. Conservación de la Energía  1.3.7. Poder y eficiencia  1.4. Velocidad y colisiones  1.4.1. Momento lineal  1.4.2. Conservación del momento  1.4.3. Impulso y fuerza de impacto  1.4.4. Colisión elástica e inelástica  1.4.5. Centro de masa y velocidad  1.4.6. Propulsión de Cohetes  1.5. Movimiento rotacional  1.5.1. Torque y Momento Angular  1.5.2. Momento de inercia  1.5.3. Cinemática Rotacional  1.5.4. Energía Rotacional  1.5.5. Movimiento de rodadura  1.5.6. Precesión y movimiento giroscópico  1.6. Fuerza gravitacional  1.6.1. La ley de la gravitación universal de Newton  1.6.2. Energía potencial gravitatoria  1.6.3. Mecánica orbital  1.6.4. Leyes del movimiento planetario de Kepler  1.6.5. Campo y potencial gravitatorio  1.7. Mecánica de fluidos  1.7.1. Presión y el Principio de Pascal  1.7.2. Flotabilidad y el principio de Arquímedes  1.7.3. Dinámica de Fluidos y el Principio de Bernoulli  1.7.4. Viscosidad y la ley de Poiseuille  1.7.5. Tensión superficial y capilaridad  1.8. Oscilaciones y ondas  1.8.1. Movimiento Armónico Simple  1.8.2. Oscilaciones amortiguadas y forzadas  1.8.3. Oscilaciones acopladas y modos comunes  1.8.4. Propiedades y tipos de ondas  1.8.5. Ondas Sonoras y el Efecto Doppler  1.8.6. Interferencia de ondas y superposición
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  3. Termodinámica  3.1. Leyes de la Termodinámica  3.1.1. Ley cero de la termodinámica  3.1.2. Primera ley de la termodinámica  3.1.3. Segunda Ley  3.1.4. Tercera Ley  3.2. Calor y trabajo  3.2.1. Transferencia de calor (conducción, convección, radiación)  3.2.2. Expansión térmica  3.2.3. Motores térmicos y refrigeradores  3.2.4. Ciclo de Carnot y eficiencia  3.3. Mecánica estadística  3.3.1. Distribución de Maxwell–Boltzmann  3.3.2. Entropía y Probabilidad  3.3.3. Función de partición  3.3.4. Estadísticas de Fermi–Dirac y Bose–Einstein
  4. Óptica  4.1. Óptica Geométrica  4.1.1. Reflexión y refracción  4.1.2. Espejos y lentes  4.1.3. Instrumentos Ópticos  4.1.4. El principio de Fermat  4.2. Óptica de ondas  4.2.1. Interferencia en la óptica de ondas  4.2.2. Difracción  4.2.3. Polarización  4.2.4. Coherencia y holografía
  5. Mecánica cuántica  5.1. Dualidad onda-partícula  5.1.1. Radiación de cuerpo negro en la dualidad onda-partícula en la mecánica cuántica  5.1.2. Efecto fotoeléctrico  5.1.3. Dispersión Compton  5.1.4. Longitud de onda de De Broglie  5.2. Ecuación de Schrödinger  5.2.1. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  5.2.2. Partícula en una caja  5.2.3. Efecto túnel cuántico  5.2.4. Pozos de potencial y obstáculos  5.3. Estados Cuánticos  5.3.1. Función de onda  5.3.2. Operadores cuánticos  5.3.3. Principio de incertidumbre de Heisenberg  5.3.4. Momento angular y espín
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  7. Física del estado sólido  7.1. Estructura cristalina  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Difracción de rayos X  7.1.3. Teoría de bandas  7.1.4. Fonones y vibraciones de red  7.2. Propiedades Eléctricas y Magnéticas  7.2.1. Conductores, Semiconductores e Aislantes  7.2.2. Superconductividad  7.2.3. Efecto Hall
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Teoría de bandas


La teoría de bandas es un concepto importante en la física del estado sólido que ayuda a explicar el comportamiento de los electrones en los sólidos. Esta teoría es esencial para comprender la conductividad eléctrica y las propiedades de los materiales que van desde metales hasta aislantes y semiconductores. En este artículo, exploraremos los fundamentos de la teoría de bandas, su desarrollo histórico y cómo se aplica a diferentes tipos de materiales. También presentaremos algunas ayudas visuales simples en formato SVG para ilustrar conceptos importantes.

Fundamentos de la teoría de bandas

La teoría de bandas describe los niveles de energía de los electrones en un sólido. Se basa en el modelo mecánico cuántico de los electrones y considera cómo estos partículas se comportan cuando están en un potencial periódico, como la estructura de red de un cristal. Aquí está la premisa básica:

  • Los electrones en los sólidos no tienen niveles de energía discretos como los átomos aislados. En su lugar, tienen bandas de energía que pueden ocupar.
  • La estructura de bandas de un material determina sus propiedades eléctricas. En general, la teoría de bandas divide los niveles de energía en dos bandas principales: la banda de valencia y la banda de conducción.
  • La brecha de energía entre estas bandas juega un papel importante en determinar si un material es un conductor, semiconductor o aislante.

Bandas de energía y zonas de Brillouin

Para entender la teoría de bandas es importante considerar el concepto de zonas de Brillouin. Estas zonas se definen en el espacio recíproco de un cristal, que es un espacio matemático abstracto utilizado para analizar los vectores de onda de las partículas.

En un cristal unidimensional, podemos imaginar la red como una serie de puntos equiespaciados. Los electrones se mueven en esta estructura periódica, y sus posibles niveles de energía se conocen como ondas de Bloch. Los niveles de energía permitidos se agrupan en bandas, que están separadas por regiones prohibidas conocidas como brechas de banda.

banda de valenciabanda de conducciónbrecha de banda

El diagrama anterior muestra el concepto de las bandas de valencia y conducción, así como la brecha de banda que se encuentra entre ellas. Los electrones en la banda de valencia no tienen suficiente energía para moverse libremente a través del material, mientras que los electrones en la banda de conducción pueden hacerlo, contribuyendo a la conductividad eléctrica.

Desarrollo histórico

El desarrollo de la teoría de bandas fue un proceso gradual. Revisemos brevemente los principales hitos históricos que condujeron a la comprensión actual de esta teoría:

Teorías iniciales

Antes del desarrollo de la mecánica cuántica, las primeras teorías de conductividad eléctrica se basaban en la física clásica. Estas teorías eran incapaces de explicar por qué algunas sustancias conducen electricidad y otras no.

Con el advenimiento de la mecánica cuántica a principios del siglo XX, los físicos comenzaron a usar funciones de onda para describir el comportamiento de los electrones. Este nuevo enfoque sentó las bases para el desarrollo de la teoría de bandas.

Teorema de Bloch

Una contribución importante a la teoría de bandas fue realizada por Felix Bloch en 1928. Propuso que los electrones en un potencial periódico pueden ser descritos por funciones de onda llamadas funciones de Bloch. Estas funciones tienen la propiedad de ser periódicas a lo largo de la red.

El teorema de Bloch establece matemáticamente que la función de onda de un electrón en un potencial periódico puede escribirse como:

ψ_k(r) = e^(ik⋅r) * u_k(r)

Aquí, k es el vector de onda, r es el vector de posición, y u_k(r) es una función de la periodicidad de la red.

Modelo de electrones casi libres

El modelo de electrones casi libres, desarrollado en la década de 1930, fue una extensión de las ideas de Bloch. Considera que los electrones en un cristal se mueven casi libremente, su movimiento siendo ligeramente perturbado por interacciones con la red.

Este modelo ayudó a los físicos a entender mejor cómo se forman las bandas de energía y cómo su forma depende de las propiedades del cristal.

Tipos de materiales

La teoría de bandas nos ayuda a clasificar las sustancias según sus estructuras de banda. En general, las sustancias pueden dividirse en tres categorías amplias: metales, semiconductores y aislantes.

Metales

Los metales tienen superposición entre las bandas de valencia y conducción, o no tienen brecha de banda. Esto significa que sus electrones pueden moverse fácilmente de la banda de valencia a la de conducción, permitiéndoles conducir electricidad eficientemente.

banda de valenciabanda de conducción

En el diagrama anterior, las bandas se superponen, lo que significa que no hay brecha de banda, lo cual es común en los metales.

Semiconductores

Los semiconductores tienen una pequeña brecha de banda entre las bandas de valencia y conducción. Esto les permite ser conductores bajo ciertas condiciones, como cuando están expuestos a la luz o el calor.

Los semiconductores a menudo se alean con impurezas para mejorar sus propiedades conductoras. Este proceso implica añadir pequeñas cantidades de otros elementos a un semiconductor para aumentar el número de portadores de carga (electrones o huecos).

banda de valenciabanda de conducciónPequeña brecha de banda

En la figura anterior, la pequeña brecha de banda representa material semiconductor.

Aislante

Los aislantes tienen una brecha de banda muy grande, lo que significa que muy pocos electrones pueden moverse de la banda de valencia a la de conducción. Esto los hace malos conductores de electricidad.

banda de valenciabanda de conducciónBrecha de banda más grande

En la figura anterior, la gran brecha de banda es característica del material aislante.

Teoría de bandas y conductividad

Una de las principales aplicaciones de la teoría de bandas es explicar la conductividad eléctrica de los materiales. Al examinar la estructura de bandas, podemos predecir cómo un material conducirá electricidad y cómo se comportará bajo diversas influencias externas, como cambios de presión o temperatura.

Conductor

  • En conductores como los metales, las bandas de valencia y conducción son (ya sea) las mismas o se superponen, permitiendo a los electrones moverse libremente.
  • Esta característica estructural significa que los conductores tienen alta conductividad eléctrica, y los electrones pueden moverse relativamente fácil.

Semiconductores

  • Los semiconductores tienen una brecha de banda moderada que está afectada por la temperatura o las impurezas, afectando su conductividad.
  • Estos materiales son importantes en dispositivos electrónicos porque permiten controlar el flujo de electrones, lo que se evidencia en transistores y diodos.

Aislante

  • Los aislantes tienen grandes brechas de banda, las cuales impiden que los electrones en la banda de valencia ganen suficiente energía para moverse a la banda de conducción.
  • Esto los hace malos conductores de electricidad, y adecuados para su uso como aislantes en circuitos eléctricos para prevenir el flujo de corriente eléctrica no deseada.

Conclusión

La teoría de bandas es una teoría fundamental en la física del estado sólido, proporcionando una visión del comportamiento electrónico de los materiales. Al estudiar las bandas de energía dentro de las estructuras cristalinas, obtenemos una comprensión más profunda de por qué los materiales se comportan de la manera en que lo hacen, lo cual es crucial para el desarrollo de tecnología desde microchips hasta celdas solares.

El propósito de esta explicación es introducirte a los conceptos básicos de la teoría de bandas, su contexto histórico y sus implicaciones prácticas. Al considerar una variedad de materiales, hemos visto cómo las brechas de banda afectan la conductividad y cómo la tecnología moderna usa estos principios. A medida que surjan nuevos materiales y técnicas, la teoría de bandas continuará siendo un área importante de estudio en la física y la ingeniería.


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